PPD - II - Proposition 28

Si un corps A (voir fig. 1) est complètement au repos, et un peu plus grand que le corps B, avec quelque vitesse que B se meuve vers A, jamais il ne mettra A en mouvement mais sera repoussé par lui du côté opposé gardant tout son mouvement.

On observera que l’opposition de ces corps peut être détruite de trois manières : ou bien quand l’un d’eux entraîne l’autre avec lui et qu’ils continuent ensuite a se mouvoir du même côté avec la même vitesse ; ou bien quand l’un est renvoyé du côté opposé et que l’autre garde tout son repos ; ou bien quand l’un est renvoyé du côté opposé et transfère une partie de son mouvement à l’autre qui est au repos ; il n’y a pas de quatrième cas (en vertu de la Proposition 13, partie II). Il y aura donc à démontrer maintenant (à cause de la Proposition 23, partie II) que dans notre hypothèse le changement qui se fait dans ces corps est le plus petit qui se puisse.

Démonstration

Si B mettait A en mouvement, il devrait (par la Proposition 20, partie II), jusqu’au moment où les deux corps se mouvraient avec la même vitesse, céder à A autant de mouvement que A en acquerrait et (par la Proposition 21, partie II) il devrait perdre plus de la moitié de son mouvement et conséquemment aussi (par le Corollaire de la Proposition 27, partie II) plus de la moitié de sa détermination ; et ainsi (par le Corollaire de la Proposition 26, partie II) il éprouverait plus de changement que s’il perdait seulement sa détermination. Et, si A perd quelque chose de son repos, mais non assez pour pouvoir continuer de se mouvoir avec la même vitesse que B, alors l’opposition des deux corps n’est pas détruite ; car A s’opposera par sa lenteur, en tant qu’elle participe du repos (par le Corollaire de la Proposition 22, partie II), à la vitesse de B et ainsi B devra encore être renvoyé du côté opposé et perdra avec toute sa détermination la partie de son mouvement qu’il aura fait passer en A, ce qui est un changement plus grand que s’il perdait seulement sa détermination. Le changement donc, dans notre hypothèse, sera, parce qu’il n’a lieu que dans la seule détermination, le plus petit qui puisse être dans ces corps, et par conséquent (par la Proposition 23, partie II) aucun autre ne se produira.
C.Q.F.D.

On notera dans la démonstration de cette Proposition que la même chose a lieu aussi dans d’autres cas ; nous n’avons pas en effet cité la Proposition 19, partie II, dans laquelle il est démontré, que la direction peut être entièrement changée, le mouvement subsistant cependant en entier ; il faut cependant y avoir égard pour que la force de la démonstration soit bien perçue. Car, dans la Proposition 23, partie II, nous ne disions pas que le changement doit être le plus petit absolument, mais le plus petit qui puisse être.

Qu’un changement consistant dans la seule détermination tel que celui que nous avons supposé dans cette démonstration puisse avoir lieu, cela se voit par les Propositions 18 et 19, partie II, avec le Corollaire.